La probabilidad y el número π

El método Montecarlo

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Imagen: Casino de Montecarlo. Fuente: Monte-Carlo SBM.

La probabilidad se puede definir como la relación entre el número de casos favorables en la realización de un hecho y el número de casos posibles; en otras palabras, el número de veces que se cumple un hecho, determinado por nosotros, en un experimento. Para conocer múltiples veces la probabilidad de un hecho se realiza una experiencia aleatoria y se denomina espacio muestral al conjunto de resultados posibles, identificándose habitualmente con Ω.

Dentro de la probabilidad no podemos prever cual será el resultado posible del espacio muestral, pero sí qué casos serán más probables que otros. Cada parte del espacio muestral se denomina acontecimiento (o suceso), de esta forma la probabilidad de cada acontecimiento es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

Si realizamos un número n de repeticiones del experimento E y f es el número de veces que se ha producido el suceso A, la frecuencia relativa de A es f/n. Si n tiende a infinito f/n tiende a estabilizarse en un número que es la probabilidad del acontecimiento A o P(A). La probabilidad de un suceso está comprendida, por lo tanto, entre 0 y 1, siendo 0 la imposibilidad y 1 la total certeza.

Los estudios de probabilidad se iniciaron con los juegos de azar durante los siglos XVII y XVIII con matemáticos como Bernoulli, Huygens y Pascal que desarrollaron el cálculo de probabilidades, al que también contribuyeron Euler, Gauss y Laplace entrando en el siglo XIX. En el siglo XX Kolmogorov creó la teoría de conjuntos y la teoría de medida, de gran importancia ambas en probabilidad y estadística.

El número π (pi) es un número irracional producto de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Desde la antigüedad se ha intentado determinar su composición exacta aproximándose con diversos grados de éxito. En -1800 el egipcio Ahmes lo aproximó con 256/81, Arquímedes en el siglo III a. C. lo hizo con 22/7 y en el siglo V el chino Zu Chongzhi con 355/113. Actualmente se utilizan computadoras que han permitido calcular π con millones de cifras exactas, pero aun no se le ha encontrado el final.

Para calcular el número π mediante la teoría de la probabilidad se utiliza el llamado método Montecarlo, en honor al casino mas famoso del mundo en Mónaco. El método permite aproximar expresiones matemáticas complejas mediante la generación de números aleatorios. Si tenemos un cuadrado de área 4 y lados de 2 unidades, dentro del mismo podemos inscribir una círculo de radio 1 y área igual a π. Cogiendo una sección del cuadrado formada por un cuarto del círculo obtenemos un cuadrado de lado 1 y un cuarto del círculo de radio 1 y superficie igual a π/4. Si generamos un punto al azar dentro del nuevo cuadrado la probabilidad de que esté dentro del área del círculo es de π/4.

A medida que generamos más puntos la frecuencia de que se encuentren dentro del círculo se acerca a π/4. Al generar n pares de números (x, y) aleatorios comprendidos entre 0 y 1 sabiendo que x²+y²<1 es un punto del círculo podemos determinar que:

C = número de veces que (x, y) está dentro del círculo.

P = C/n = π/4

π = 4C/n

Ahora podemos realizar una simulación generando números dentro del cuadrado con el semicírculo a partir de un sencillo programa de Basic:

10 INPUT “NÚM. DE PUNTOS:”; N

20 FOR I = 1 TO N

30 X = RND: Y = RND

40 IF X * X + Y * Y < 1 THEN C = C +1

50 NEXT I

60 PRINT “PUNTOS:”;N, “PI:”; 4 * C/N

Así obtenemos diversos resultados que indican que la probabilidad real se acerca a la teórica a medida que nos acercamos a infinito y generamos más puntos:

Puntos           Pi

1                      4

5                      3’2

10                    2’4

50                    3’04

100                  3’16

500                  3’208

1000                3’136

5000                3’1256

10000               3’1496

100000             3’14664

1000000           3’14172

El valor actual de π hasta con 20 decimales es: 3’14159265358979323846.

Página web para utilizar el método Montecarlo para aproximarse a π

Estimación de π mediante Montecarlo con R

Y también en Python

Gestión e intervención territoriales

Políticas para el espacio-territorio

La intervención en nuestro entorno consiste en modificar las tendencias y los procesos que se presentan en él para cambiarlos respecto a cómo se desarrollarían si no actuáramos. La humanidad tiene la capacidad de modificar los procesos naturales -los sucesos que pasarían si nadie interviniera- a una escala muchísimo mayor que la de cualquier otro ser vivo y tanto en la naturaleza como en la sociedad existen unas leyes, o formas de actuación, que no son aleatorias y responden a una relación de factores y elementos. Si queremos modificar uno de los elementos debemos saber cómo se comportan los factores que lo afectan para que se produzca esa modificación.

La intención de la planificación no es transformar las relaciones entre elementos y factores, sino aplicar una serie de acciones para conseguir lo que deseamos, observar las diversas variables, alterarlas y realizar una previsión del comportamiento de lo que cambiamos y de cómo funcionará en el futuro. Hay que tener en cuenta, de todas maneras, que no siempre conocemos todos los factores que intervienen por falta de conocimiento de los procesos y leyes que los gobiernan y por tanto nuestra actuación puede resultar en un efecto no del todo como el que buscábamos, a veces desastroso.

Existen dos grandes grupos de factores desde el punto de vista geográfico: los factores físicos y los factores humanos. Los factores físicos consisten en los elementos naturales tales como precipitaciones, temperaturas, vientos, cursos de agua, costas, suelos, recursos minerales, vegetación y fauna, por ejemplo. Los factores humanos son, en cambio, factores sociales o culturales como la productividad, el tiempo de ocio, la forma de sociedad, la estructura laboral o los medios de transporte.

En el medio físico las regularidades son siempre las mismas y la naturaleza no reacciona verso a los impactos humanos, no toma decisiones de actuación y se comporta como una máquina, pudiéndose aplicar un modelo determinista. En el medio social el ser humano sí puede aplicar contra-medidas, aceptar o negar las modificaciones hechas -por el propio ser humano- y nos encontramos, entonces, dentro de un modelo estocástico. Si realizamos la acción A, existen tres posibilidades: la aceptación de A, la negación de A o la modificación de A, siendo esta última además no dicotómica y sí gradual.

En definitiva, la planificación territorial consiste en una dialéctica entre todos los agentes envueltos en ella, dónde todos los factores sociales implicados toman decisiones en un escenario pasivo reaccionario como es la naturaleza, del cual no conocemos todas sus variables. Las decisiones que tomemos son fundamentales para nuestra calidad de vida y, de esta manera, tienen que ser lo más racionales posibles, realizándose una previsión de cuáles serán las consecuencias de nuestras propuestas y actuaciones.