La probabilidad y el número π

El método Montecarlo

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Imagen: Casino de Montecarlo. Fuente: Monte-Carlo SBM.

La probabilidad se puede definir como la relación entre el número de casos favorables en la realización de un hecho y el número de casos posibles; en otras palabras, el número de veces que se cumple un hecho, determinado por nosotros, en un experimento. Para conocer múltiples veces la probabilidad de un hecho se realiza una experiencia aleatoria y se denomina espacio muestral al conjunto de resultados posibles, identificándose habitualmente con Ω.

Dentro de la probabilidad no podemos prever cual será el resultado posible del espacio muestral, pero sí qué casos serán más probables que otros. Cada parte del espacio muestral se denomina acontecimiento (o suceso), de esta forma la probabilidad de cada acontecimiento es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

Si realizamos un número n de repeticiones del experimento E y f es el número de veces que se ha producido el suceso A, la frecuencia relativa de A es f/n. Si n tiende a infinito f/n tiende a estabilizarse en un número que es la probabilidad del acontecimiento A o P(A). La probabilidad de un suceso está comprendida, por lo tanto, entre 0 y 1, siendo 0 la imposibilidad y 1 la total certeza.

Los estudios de probabilidad se iniciaron con los juegos de azar durante los siglos XVII y XVIII con matemáticos como Bernoulli, Huygens y Pascal que desarrollaron el cálculo de probabilidades, al que también contribuyeron Euler, Gauss y Laplace entrando en el siglo XIX. En el siglo XX Kolmogorov creó la teoría de conjuntos y la teoría de medida, de gran importancia ambas en probabilidad y estadística.

El número π (pi) es un número irracional producto de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Desde la antigüedad se ha intentado determinar su composición exacta aproximándose con diversos grados de éxito. En -1800 el egipcio Ahmes lo aproximó con 256/81, Arquímedes en el siglo III a. C. lo hizo con 22/7 y en el siglo V el chino Zu Chongzhi con 355/113. Actualmente se utilizan computadoras que han permitido calcular π con millones de cifras exactas, pero aun no se le ha encontrado el final.

Para calcular el número π mediante la teoría de la probabilidad se utiliza el llamado método Montecarlo, en honor al casino mas famoso del mundo en Mónaco. El método permite aproximar expresiones matemáticas complejas mediante la generación de números aleatorios. Si tenemos un cuadrado de área 4 y lados de 2 unidades, dentro del mismo podemos inscribir una círculo de radio 1 y área igual a π. Cogiendo una sección del cuadrado formada por un cuarto del círculo obtenemos un cuadrado de lado 1 y un cuarto del círculo de radio 1 y superficie igual a π/4. Si generamos un punto al azar dentro del nuevo cuadrado la probabilidad de que esté dentro del área del círculo es de π/4.

A medida que generamos más puntos la frecuencia de que se encuentren dentro del círculo se acerca a π/4. Al generar n pares de números (x, y) aleatorios comprendidos entre 0 y 1 sabiendo que x²+y²<1 es un punto del círculo podemos determinar que:

C = número de veces que (x, y) está dentro del círculo.

P = C/n = π/4

π = 4C/n

Ahora podemos realizar una simulación generando números dentro del cuadrado con el semicírculo a partir de un sencillo programa de Basic:

10 INPUT “NÚM. DE PUNTOS:”; N

20 FOR I = 1 TO N

30 X = RND: Y = RND

40 IF X * X + Y * Y < 1 THEN C = C +1

50 NEXT I

60 PRINT “PUNTOS:”;N, “PI:”; 4 * C/N

Así obtenemos diversos resultados que indican que la probabilidad real se acerca a la teórica a medida que nos acercamos a infinito y generamos más puntos:

Puntos           Pi

1                      4

5                      3’2

10                    2’4

50                    3’04

100                  3’16

500                  3’208

1000                3’136

5000                3’1256

10000               3’1496

100000             3’14664

1000000           3’14172

El valor actual de π hasta con 20 decimales es: 3’14159265358979323846.

Página web para utilizar el método Montecarlo para aproximarse a π

Estimación de π mediante Montecarlo con R

Y también en Python